笛卡尔心形函数是数学中常见的几何函数，其解析式主要有两种形式，分别适用于不同的坐标系：

一、直角坐标系方程

标准方程

$$x^2 + \left( y - \sqrt{x^2 + y^2} \right)^2 = 1$$

该方程描述了一个以原点为对称中心的心形曲线，形状类似于两个圆形相交形成的图案。

变形方程

另一种常见形式为：

$$x^2 + y^2 + ax = a\sqrt{x^2 + y^2}$$

其中 $a$ 为常数，通过旋转坐标轴可化为标准形式。

二、极坐标系方程

基本方程

$$\rho = a(1 - \sin\theta)$$

该方程以原点为极点，$\theta$ 为极角，$a$ 为常数。当 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$ 时，$\rho$ 的变化轨迹形成心形。

推导过程

- 以单位圆 $\rho = a$ 为基础，考虑点 $（r, \theta）$ 在圆上移动时形成的轨迹。 - 通过几何分析，发现当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$r = 0$；当 $\theta = 0$ 或 $\pi$ 时，$r = a$，从而推导出上述方程。

三、参数方程形式

极坐标方程 $\rho = a（1 - \sin\theta）$ 还可以转换为参数方程：

$$x = a(1 - \sin\theta)\cos\theta$$

$$y = a(1 - \sin\theta)\sin\theta$$

通过改变参数 $\theta$ 的值，可生成完整的心形曲线。

四、应用与扩展

笛卡尔心形函数在数学、物理学等领域有广泛应用，例如描述电子轨道、天体运动等。其简洁性体现了数学对自然现象的抽象表达能力。