笛卡尔心形函数的公式推导可以通过以下步骤进行：

考虑一个半径为a的圆

在极坐标中，圆的方程为 \（ r = a \），其中 \（ r \） 是到原点的距离，\（ a \） 是半径。

选择一个点 （r, θ） 并将其与原点相连

这条线段的长度为 \（ r \），与x轴正方向的夹角为 \（ \theta \）。

将点沿着圆移动

使得角度 \（ \theta \） 从0增加到2π。在这个过程中，点的位置会形成一个心形的形状。

描述点的位置变化

当 \（ \theta = 0 \） 时，点位于x轴上，此时 \（ r = a \）。

当 \（ \theta = \frac{\pi}{2} \） 时，点位于y轴上，此时 \（ r = 0 \）。

当 \（ 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \） 时，点位于第一象限，此时 \（ r = a（1 - \sin \theta） \）。这是因为当 \（ 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \） 时， \（ \sin \theta \） 是一个正数，所以 \（ 1 - \sin \theta \） 是一个小于1的正数，因此 \（ r \） 是一个小于a的正数。

当 \（ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \） 时，点位于第二象限，此时 \（ r = a（1 - \sin \theta） \）。这是因为当 \（ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \） 时， \（ \sin \theta \） 是一个负数，所以 \（ 1 - \sin \theta \） 是一个大于1的正数，因此 \（ r \） 是一个大于a的正数。

当 \（ \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \） 时，点位于第三象限，此时 \（ r = a（1 - \sin \theta） \）。这是因为当 \（ \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \） 时， \（ \sin \theta \） 是一个负数，所以 \（ 1 - \sin \theta \） 是一个小于1的正数，因此 \（ r \） 是一个小于a的正数。

通过以上步骤，我们可以得出笛卡尔心形函数的极坐标方程为：

\[ r = a（1 - \sin \theta） \]

这个公式描述了心形线的形状，其中 \（ a \） 是一个常数，表示心形线的大小。