笛卡尔心形函数是数学中用于描述心形曲线的解析式，其核心表达式及性质如下：

一、直角坐标系下的解析式

笛卡尔心形函数的标准方程为：

$$x^2 + (y - \sqrt{x^2})^2 = 1$$

该方程满足：

对称性：

关于y轴对称，因为将x替换为-x时方程不变；

中心点：

原点（0,0）是曲线的对称中心。

二、极坐标系下的表达式

极坐标方程

- 水平方向：$\rho = a（1 - \sin\theta）$

- 垂直方向：$\rho = a（1 + \sin\theta）$

其中，$\rho$表示极径，$\theta$为极角，$a$为常数。

参数化形式

通过参数方程可表示为：

$$x = a(\cos\alpha \cos\theta - \sin\alpha \sin\theta)$$

$$y = a(\cos\alpha \sin\theta + \sin\alpha \cos\theta) + b$$

当$\alpha = 0$时，简化为极坐标形式。

三、函数特性

参数$a$的作用：

控制心形的大小，$a$越大，心形越扩展；

图像特征：

当$\theta = 0$时，$\rho = a$（最大值）；

当$\theta = \frac{\pi}{2}$时，$\rho = 0$（最小值）。

四、历史背景

该函数由17世纪数学家勒内·笛卡尔提出，灵感来源于他与瑞典公主克里斯汀的传说。尽管传说中提到的公式为$\rho = a（1 - \cos\theta）$（心形线），但现代常用$\rho = a（1 - \sin\theta）$作为标准形式。

五、应用领域

数学：描述电子轨道、行星运动等天体现象；

物理学：模拟某些流体力学或电磁学中的心形结构；

艺术与设计：常用于生成浪漫图案或装饰元素。

以上解析式及性质综合了多种数学推导方法，包括极坐标变换与参数方程。