华罗庚在数学领域取得了多项开创性成就，破解了多个重大数学难题，主要贡献包括：

一、代数与数论领域

五次方程无解证明

1930年，华罗庚在《科学》杂志发表《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，证明五次及以上次数的代数方程无通用解，这一成果震惊了国际数学界，使华罗庚成为当时最年轻的数学博士。

华氏不等式与华-王方法

- 提出“华氏不等式”，攻克了高斯完整三角和的估计难题；

- 与王元共同创立“华—王方法”，为数论和代数几何领域的发展奠定基础。

二、几何与分析领域

嘉当—布劳韦尔—华氏定理

证明了一个关于代数几何的重要定理，深化了数论与几何的结合。

三、应用与教育领域

优选法推广

1972年赴开封推广“优选法”，推动科学实验与实践的群众性活动，取得显著经济效益和社会效益。

数学教育贡献

创办数学讨论班，提出“一条龙”教学法，培养了王元、陈景润等数学人才，并倡导中学生数学竞赛，为中国数学事业储备后备力量。

四、其他重要成就

Waring问题研究：

提出任一充分大的整数可表为[6n²logn]个素数方幂之和的结论，被国际权威评价为“最好的结果之一”；

破译苏联军事机密：1949年后回国，通过统计、建模等技术成功破译苏联密码，为新中国科技发展提供支持。

华罗庚的数学成就不仅解决理论难题，更通过教育实践推动数学普及，其影响力贯穿数学界及国家战略层面。