笛卡尔关于方程的核心思想可以概括为以下几点：

未知数的符号化

笛卡尔提出用字母（如 $x, y, z$）表示未知数，将它们与普通数字同等对待，通过运算符号和等号构建代数式。例如，方程 $x - 5 = 2$ 可以通过移项得到 $x = 7$，而方程组 $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 5 \end{cases}$ 可以通过加减消元法求解。

方程的解的验证

求解方程后，需将解代入原方程进行验证。例如，对于方程组，解得 $x = 7.5, y = 2.5$ 后，代入原方程可验证其正确性。

方程与问题的转化

笛卡尔认为，几何问题可以通过代数方程来表示，反之亦然。例如，平面上的点 $（x, y）$ 可以用坐标表示，圆、直线等几何图形也可以转化为代数方程（如 $（x - h）^2 + （y - k）^2 = r^2$ 表示圆心为 $（h, k）$、半径为 $r$ 的圆）。

代数与几何的结合

通过坐标系，几何图形可以用代数形式描述，反之亦然。这种结合为解析几何的创立奠定了基础，使数学家能够用代数方法研究几何问题。

笛卡尔的方程思想不仅推动了数学的发展，还体现了“数形结合”的哲学理念，成为现代数学的基石之一。